等比数列性质及证明_等比数列性质
1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
2、这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0)。
(资料图片)
3、 注：q=1时，an为常数列。
4、 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 等比数列通式若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
5、 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) 等比数列求和公式(前提：q≠ 1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)；在运用等比数列的前n相和时，一定要注意讨论公比q是否为 （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
6、 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
7、在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
8、 等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中 项。
9、 等比中项公式：An/An-1=An+1/An或者(An-1)(An+1)=An^2 （5）无穷递缩等比数列各项和公式： 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
10、 (6)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 若A=a1+a2+……+an B=an+1+……+a2n C=a2n+1+……a3n 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n 若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 B=a2+a5+a8+……+a3n-1 C=a3+a6+a9+……+a3n 则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q编辑本段性质 (1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq； (2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
11、 (3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. (4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则 {a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3… {can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
12、 （5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
13、 （6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
14、 (7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) (8) 数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列， 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
15、 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
16、 (9)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
17、编辑本段求通项公式的方法 （1）待定系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an 构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x） a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3 所以（a（n+1）+3）/（an+3）=2 ∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3。
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